[007] Conhecer e discutir sobre a reflexão como transformação geométrica

Este episódio recorre a uma tarefa extremamente simples mas muito poderosa no que respeita à exploração intuitiva das propriedades da reflexão como transformação geométrica. As variações explorados no ambiente dinâmico, a partir do recurso a seletores com valores de medição associados, contribuíram para que as conclusões tiradas pelos alunos fossem sustentadas nas relações métricas.

 

A tarefa

 

Esta tarefa explora a reflexão de figuras planas tendo por base um manipulável virtual em GeoGebra construído especialmente com o objetivo de explorar as propriedades da reflexão. Com esta ferramenta, os alunos podem analisar os efeitos da reflexão na posição, forma e tamanho da mesma figura. A figura usada, o Minion, tem o polegar da mão direita esticado, para que não seja simétrico. Assim permite grande visibilidade à orientação da figura e facilidade na comparação com a imagem obtida.

 

Algumas reflexões

 

Este episódio permitiu evidenciar aspetos interessantes de aprendizagem no que respeita à visualização, comunicação e participação dos alunos na discussão coletiva para regulação das conjeturas elaboradas e estabelecimento das propriedades da reflexão. 

 

Este episódio foi analisado com outros dois — [004 -Pirâmides] e [005 - Prismas] — para aprofundamento do estudo da interlocução em momentos coletivos (texto em referência).

 

 

Para saber mais

Loureiro, C., Morais, D., Guerreiro, H. G., Moreira, H., Figueiredo, P., Fernandes, S., & Brito, S. (2023). Contributos e desafios da geometria dinâmica em momentos em interlocução. Escola Moderna, N.º 11, 6.ª série, 105-115.

[006] Polígonos inscritos — Do lápis e papel ao GeoGebra

 

Esta experiência é uma das primeiras de utilização de geometria dinâmica com alunos dos dois professores que as realizaram. Um dos professores iniciou a experiência com a construção de representações com papel e lápis, o outro iniciou com o recurso ao GeoGebra. A reflexão associada a esta experiência foca por isso uma comparação entre estas duas orientações (Faneco & Valério, 2022).

 

A tarefa

 

Em ambos os casos, a tarefa proposta aos alunos foi a de construírem um polígono regular inscrito numa circunferência.

 

Algumas reflexões

 

“O que aconteceu nas várias turmas foi muito semelhante e somos levados a concluir que a experiência prévia de construir polígonos inscritos com papel e lápis não parece ter tido grande influência na construção com recurso ao AGD. Nenhum dos alunos que já tinha construído polígonos inscritos usou a construção de ângulos ao centro com uma dada amplitude para fazer a construção em GeoGebra. O que nos parece interessante evidenciar é que o desafio estava lançado entre os alunos e a necessidade de encontrar uma forma de representar um polígono inscrito requer a mobilização de outros conhecimentos. Fazer uma construção realmente dinâmica é de muito maior exigência.” (p. 14)

 

“A apreciação dos alunos que utilizaram o GeoGebra após o uso de papel e lápis foi evidenciada na avaliação que fizeram. Se para muitos a construção em papel e lápis foi interessante, para a grande maioria, o GeoGebra teve um papel fundamental quer na rapidez das construções, quer na construção de conhecimento que a própria representação proporcionou.” (p. 16)

 

“Enquanto professores e após esta experiências, ficamos motivados para refletir sobre estas ideias e usá-las para melhor compreender a utilização de representações e o seu papel na aprendizagem. As representações realizadas e o conhecimento construído, mobilizando as aprendizagens feitas pelos alunos, permite-nos refletir sobre o papel do professor enquanto decisor e gestor do programa, não só relativamente à utilização de AGD, das tarefas selecionadas e propostas aos alunos, mas também à compreensão desenvolvida quando se utiliza uma ferramenta que permite a construção e a relação entre representações geométricas.” (p. 16)

 

Para saber mais

 

Faneco, C., & Valério, N. (2022). Polígonos inscritos — do lápis e papel ao GeoGebra. Educação e Matemática, 166, 13-16.

[005] Construções 3D — Prismas

 

Esta experiência decorreu durante o desenvolvimento de um percurso de aprendizagem longo que decorreu em dois anos letivos diferentes. Na primeira parte do percurso os alunos recorreram a caixas diversas, com formas próximas de sólidos geométricos, para as agrupar definindo critérios de agrupamento, descobrir caraterísticas dos poliedros, identificar elementos constituintes e construir planificações. No ano letivo seguinte o percurso foi retomado com recurso ao GeoGebra para realizar atividades de natureza exploratória.

 

A tarefa

 

“Num primeiro momento, os alunos foram convidados, a pares, a descobrir este ambiente de geometria dinâmica. Nesta exploração construíram diferentes figuras 3D que partilharam e, após discussão coletiva, foram convidados a agrupá-las, segundo critérios que criaram. Um dos agrupamentos encontrados foi o dos poliedros e dentro deste, os sub agrupamentos de prismas e de pirâmides. De seguida, acordou-se em estudar as propriedades dos prismas, a partir do preenchimento a pares de uma tabela como a da figura, ainda não preenchida, mas que continha as representações de alguns prismas.” (p. 45)

 

Algumas reflexões

 

Destacamos as potencialidades da interação num ambiente de geometria dinâmica:

“— a representação 3D, em ambientes dinâmicos (idealizados e representados pelos alunos;

— a visualização de objetos dinâmicos (prismas representados pelos alunos e observados por eles de vários pontos de vista);

— a manipulação, que permitiu mexer e transformar os objetos (neste caso o esticar da representação;

— o desenvolvimento de diferentes representações que permitiu a percepção do objeto como um todo e a associação aos seus elementos (o retângulo como elemento do prisma, o quadrado como tipo particular de face retangular).” (p. 46)

 

“Este percurso de aprendizagem permitiu a vivência de situações que constituem desafios para a prática pedagógica do professor, como i) o acesso a representações de prismas não comuns e em posições pouco habituais; ii) a abordagem inclusiva da classificação de retângulos e da classificação de prismas; iii) a manipulação de representações dinâmicas ( esticar, aumentar os elementos, associar novos elementos), e iv) a oportunidade de agir sobre os objetos geométricos, criar novos objetos e desenvolver o conhecimentos sobre esse objetos.” (p. 46)

 

 

Para saber mais

 

Loureiro, C., Fernandes, S., & Moreira, H. (2022). Representações dinâmicas e interativas com o GeoGebra — construir, ver, transformar, pensar e discutir. Educação e Matemática, 166, 44-46.

 

Loureiro, C. (2023). Esticar objetos geométricos — Contributos para a formalização de um conceito intuitivo. Educação e Matemática, 169, 6-8.

[004] Manipuláveis virtuais do GeoGebra — Pirâmides

 

 

O objetivo desta tarefa é descobrir as caraterísticas das pirâmides.

Para a resolução foi usado como recurso um manipulável virtual do GeoGebra que permite, à medida que se acrescentam lados à base, aumentar o número de faces laterais.

https://www.geogebra.org/m/acb5ctmd

A tarefa decorre do trabalho habitual com a turma e surgiu no contexto do estudo do tema da Geometria, dando cumprimento ao estabelecido na lista de verificação, mais especificamente no descritor “identificar propriedades de figuras planas e de sólidos geométricos e fazer classificações justificando os critérios utilizados”.

 

Visualização e conhecimento matemático

 

Durante a discussão coletiva os alunos chegaram às seguintes conclusões:

— Quando mudamos o seletor do número de lados, as bases mudam de forma:

- aumenta ou diminui o número de faces

- aumenta ou diminui o número de vértices.

— Por mais que altere o número de lados da base as faces laterais são sempre triangulares.

— Quando mudamos o seletor da altura, apenas muda a forma da pirâmide, não alterando o número de faces laterais nem a base.

 

Estas conclusões só por si já são muito ricas e vão ao encontro do que era esperado, tendo em conta as possibilidades do manipulável virtual que estava a ser usado. Contudo, um dos grupos apresentou uma conclusão diferente, muito interessante e inesperada, tendo a mesma sido objeto de reflexão conjunta por constituir um desafio para todos. Esta descoberta resultou da experimentação das potencialidades do seletor do número de lados da base, que foi usado até ao maior número possível (12) e que levou um dos alunos deste grupo de alunos a formular esta afirmação: — “Assim parece mesmo que ficou com a base redonda. Esta pirâmide podia transformar-se num cone”.

 

Depois desta discussão encontrámos um outro manipulável em que esta ilusão de cone é mais evidente e no qual está associada a planificação da pirâmide.

 

https://www.geogebra.org/m/SytWRJ8S

 

É possível aceder a dois vídeos gravados durante a discussão entre pares.

 

 

O guião da tarefa (em breve)

Para saber mais

 

Loureiro, C., Morais, D., & Figueiredo, P. (2023). De novo as representações dinâmicas e interativas com o GeoGebra — “Quando a pirâmide vira cone”. Educação e Matemática, 168, 13-15.

[003] Manipuláveis virtuais do GeoGebra — Variação do volume do cilindo

 

O objetivo desta tarefa é estudar a variação do volume do cilindro em função da alteração do comprimento do raio da base, da altura do sólido e da alteração destas duas variáveis em simultâneo. Os alunos devem decidir qual é o cilindro de maior volume a partir da exploração de cilindros dinâmicos em que o raio da base e a altura são variáveis.

A tarefa inclui duas partes. Uma primeira exploração em que os alunos devem decidir qual é o cilindro de maior volume a partir da exploração de cilindros dinâmicos em que o raio da base e a altura são variáveis. E um problema:

A Joana fez velas para vender. Comprou um cubo de cera com 1m³ para fazer velas de três tamanhos diferentes. De cada tamanho pretende fazer oito velas. Quais são as dimensões de cada vela?

Como recurso para resolver a tarefa foi usado um manipulável virtual do GGB com 2 seletores (um que permite alterar o valor do raio e um outro que faz variar a altura do cilindro, oscilando a escala no intervalo 0,5). O manipulável permite ainda, através de um botão de alternância mostrar/ocultar, visualizar a fórmula para calcular o volume do cilindro e o resultado do seu cálculo para os valores selecionados.

https://www.geogebra.org/m/WJ8sKG3h

A investigação foi realizada a pares, no tablet, numa aula de 45 minutos e todas as conclusões foram registadas num guião que orientou os alunos para os objetivos da tarefa e discutidas mais tarde em grande grupo.

 

Visualização e conhecimento matemático

O facto do manipulável apresentar a possibilidade de mostrar ou ocultar a fórmula geral e o cálculo do volume do cilindro, permitiu que os alunos focassem a sua atenção na análise da variação do volume em função das variáveis comprimento do raio, da altura e das duas em simultâneo: o que acontece ao volume quando duplicamos o raio? … e quando duplicamos a sua altura?... e se duplicarmos o raio e a altura em simultâneo?

Os alunos só podem observar que existe uma regularidade e chegar a conclusões depois de serem experimentados e testados vários valores para cada questão. O objetivo desta tarefa não estava em treinar cálculos/procedimentos, que iriam desnecessariamente arrastar no tempo a atividade sem ganhos para a compreensão, mas sim em testar vários cenários e chegar a conclusões sobre as relações envolvidas.

Também neste manipulável, a mais-valia da visualização é indiscutível. Em segundos é possível observar como se altera a imagem de um cilindro quando variamos o raio e a altura e até perceber que existem sólidos equivalentes que não são geometricamente iguais. A ideia errada que o volume aumenta quando o cilindro fica “mais alto” é colocada de parte perante os contra exemplos visuais.

Quantas aulas seriam necessárias para dinamizar uma atividade como esta sem o GGB? Construir os cilindros em papel para a sua visualização, efetuar os cálculos caso a caso…

 

O guião da tarefa (em breve)

 

Para saber mais

 

Loureiro, C., & Dias, S. (2022). Uma outra face da utilização do GeoGebra — Manipuláveis virtuais que representam objetos geométricos dinâmicos. Educação e Matemática, 164, 47-49.

Loureiro, C., & Dias, S. (2022). Velas para todos os gostos.  Educação e Matemática, 165, 26-29.

[002] Manipuláveis virtuais do GeoGebra — Sólidos platónicos

Esta tarefa contempla aprendizagens de geometria tridimensional e envolve duas partes:

— a realização de contagens de elementos de um poliedro (vértices, faces e arestas) e o estabelecimento de relações entre estes elementos (Relação de Euler)

— a associação de um poliedro às suas planificações numa exploração da relação 3D-2D.

https://www.geogebra.org/m/mJTRqFwQ#material/deDM2EMw

https://www.geogebra.org/m/mJTRqFwQ#material/FQXxW67R

https://www.geogebra.org/m/erNRmF8x

https://www.geogebra.org/m/mJTRqFwQ#material/guK4GrM7

https://www.geogebra.org/m/mJTRqFwQ#material/HkN8FP6w

 

Visualização e conhecimento matemático

No caso dos poliedros, estes manipuláveis virtuais permitem que, através do comando seletor, os alunos visualizem quer o sólido, quer a sua planificação. Para alternar, entre a representação a 2D e a representação a 3D, bastam poucos segundos e um simples deslizar do botão seletor, da direita para a esquerda (e vice-versa). Além disso, a interatividade para otimizar a visualização de cada sólido não fica por aqui. Ao permitir que os alunos manipulem os sólidos, o GGB assegura não só uma visualização através do sólido, mas também, através de um simples click com o rato num vértice, rodar, arrastar, melhorando o ângulo de visualização e, ampliar o objeto. Nada disto é possível quando se trabalha com os sólidos rígidos.

Com os modelos de sólidos físicos, facilmente os alunos se desorientam durante o processo de contagem do número de faces, de arestas e de vértices do icosaedro e do dodecaedro. A vantagem da utilização dos manipuláveis virtuais neste processo foi evidente e quanto mais complexo era o sólido, mais óbvia era a ajuda que o GGB dava nestas contagens. O GGB permite mudar a cor das arestas, dos vértices e das faces ao longo da contagem. A utilização desta funcionalidade foi, indiscutivelmente, um facilitador do processo de contagem utilizado pela maioria dos alunos. Também a possibilidade de rodar o sólido, de o ampliar ou reduzir, de poder ver através de, levou os alunos a destacarem algumas propriedades (como o paralelismos de faces e arestas).

O guião da tarefa

Para saber mais

Loureiro, C., & Dias, S. (2022). Uma outra face da utilização do GeoGebra — Manipuláveis virtuais que representam objetos geométricos dinâmicos. Educação e Matemática, 164, 47-49.

 

 

[001] Geometria dinâmica

 

 

“Dinâmico é o contrário de estático. Dinâmico indica ação, energia, e mesmo vibração. A geometria dinâmica é uma geometria ativa, investigativa, levada a cabo com a ajuda de programas de computador interativos.”

 

Prefácio do livro Geometria Dinâmica (Geometry Turned On!)

 

 

GeoGebra

Um programa de geometria dinâmica

Acesso livre

Transparente na ligação entre a Geometria e a Álgebra

Ferramentas para construção muito intuitivas

Organizado em vários ecrãs, que permitem trabalhar a 2D e 3D simultaneamente

Partilha livre de construções (GeoGebra Books)

https://www.geogebra.org/

 

 

As experiências de utilização dos GeoGebra que acompanhamos são muito diversas, como diversa é também a associação ou não de outros recursos como o papel e lápis ou manipuláveis físicos.

 

Ao longos das várias mensagens do blogue procuramos dar conta das experiências que realizámos, das reflexões que fizemos e do muito que temos aprendido em conjunto.

 

Referências

 

King, J. R. & Schattschneider, D. (Eds.), (2003). Geometria dinâmica – Seleção de textos do livro Geometry Turned On!. Associação de Professores de Matemática.